Tengo una duda y quisiera saber la manera correcta de escribir lo siguiente: ¿"Estado Dominicano" o "Estado dominicano?

Lo correcto es escribir “Estado dominicano”.

¿Cuál es el uso correcto del sustantivo "ilustración"?¿Se puede utilizar la palabra como sinónimo de ejemplo, comparación, narración o parábola?

Es correcto el uso de ilustración en el sentido que usted apunta. Se trataría, en esta ocasión, de una acepción recogida en el DRAE como

  1. f.Acción y efecto de ilustrar.

puesto que el verbo ilustrar tiene la acepción

  1. tr.Aclarar un punto o materia con palabras, imágenes o de otro modo.

No obstante, siempre será un uso poco frecuente y es posible que la frecuencia de uso de ilustración con el sentido

  1. f.Estampa, grabado o dibujo que adorna o documenta un libro.

puede provocar confusión en cuanto al referente.

¿ Se debe escribir "Bahoruco" o "Baoruco"?

Ambas formas están documentadas y son correctas.

¿"Rehusar" es de no aceptar y "reusar" es de usar de nuevo?

Rehusar es ‘rechazar, no aceptar algo’. Reusar procede de la unión del prefijo re- y el verbo usar y significa ‘reutilizar’. En el primero hay una hache intercalada y en el segundo no.

Me gustaría saber las palabras admitidas por la Academia Dominicana de la Lengua este año.

El proceso de revisión del léxico no se realiza anualmente. Las academias revisan las palabras que usamos constantemente para incluirlas, o no, en los diccionarios académicos.

Nuestra Academia publicó el Diccionario del español dominicano en 2013. Puesto que se trata de un diccionario de uso, no tiene carácter normativo; es decir, el uso de algunas palabras incluidas en él podría no ser aconsejado académicamente. El diccionario las registra porque las usamos.

¿Cómo se debe hacer referencia a nuestro país: La República Dominicana o República Dominicana?

El nombre de nuestro país es República Dominicana.

Los nombres de países no van determinados por el artículo por tratarse de nombres propios. Sin embargo, se recomienda el uso del artículo para referirnos a ellos cuando se trata de nombres compuestos, como en el caso de la República Dominicana, los Estados Unidos o los Países Bajos. El artículo, que no forma parte del nombre propio, se escribe en minúscula.

¿Sería correcto iniciar un párrafo utilizando la expresión "demás" para indicar que algo sobra o huelga?

Lo correcto es “de más” pues se trata de la locución “estar de más”, formada por verbo + preposición + adverbio.

¿Es correcto utilizar la palabra "empoderar"?

Se trata de un verbo desusado que ya existía en nuestra lengua con el significado de ‘apoderar’. Hace algún tiempo se puso de moda el calco semántico del inglés con el significado ‘hacer fuerte a un grupo social desfavorecido’.

En la lengua el uso se impone. Así puede observarlo en la última edición del DRAE. Le copio las entradas dedicadas a estos homónimos:

empoderar1.

(De en- y poder2).

1. tr. desus. apoderar. Era u. t. c. prnl.

 empoderar2.

(Del ingl. empower).

1. tr. Hacer poderoso o fuerte a un individuo o grupo social desfavorecido. U. t. c. prnl.

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¿ Es correcto usar la palabra "aperturar" como sinónimo de "abrir", "dar inicio", "dar apertura", "comenzar", etc.?

El verbo *aperturar no está incluido en el Diccionario de la lengua españolaRAE.  de las Academias.Es un verbo innecesario porque para expresar el mismo significado disponemos del verbo abrir, clásico y elegante. *Aperturar no aporta ningún matiz que lo haga imprescindible para expresar algo que no pudiéramos expresar con abrir.  A veces los hablantes, en nuestro afán por expresarnos con variedad léxica, olvidamos que la sencillez y la claridad son fundamentales.